Question

在极坐标系Ox中，已知曲线C₁：ρcos（θ+

π

4

)=

2

2

，C₂：ρ=1（0≤θ≤π），C₃：

1

ρ2

=

cos2θ

3

+sin2θ，设C₁与C₂交于点M
（I）求点M的极坐标；
（II）若动直线l过点M，且与曲线C₃交于两个不同的点A，B，求

|MA|•|MB|

|AB|

的最小值．

Answer 1

分析：（I）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，解方程组求得点M的直角坐标为（1，0），从而求得它的极坐标．
（II）设动直线l的参数方程为

x=1+tcosα y=tsinα

，代入曲线C₃的方程整理，利用一元二次方程根与系数的关系求得t₁+t₂和t₁•t₂的值，再由|MA|•|MB|=|t₁•t₂|，|AB|=

(t1+t 2)2-4 t1•t 2

，求出

|MA|•|MB|

|AB|

=

1

3 • 1+sin2α

，由此求得它的最小值．

解答：解：（I）曲线C₁：ρcos（θ+

π

4

)=

2

2

，即 x-y=1，C₂：ρ=1（0≤θ≤π），即 x²+y²=1（y≥0）．
 由

x-y=1 x2+ y2=1(y≥0)

求得点M的坐标为（1，0），故它的极坐标为（1，0）．
（II）设动直线l的参数方程为

x=1+tcosα y=tsinα

，代入曲线C₃的方程整理可得 （3sin²α+cos²α）t²+2cosα•t-2=0，
设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则 t₁+t₂=

2cosα

3sin2α+cos2α

，t₁•t₂=

2

3sin2α+cos2α

．
∴|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=

2

3sin2α+cos2α

，|AB|=

(t1+t 2)2-4 t1•t 2

=

2 3 1+sin2α

3sin2α+cos2α

，
∴

|MA|•|MB|

|AB|

=

1

3 • 1+sin2α

．
∵0≤α≤π，∴0≤sin²α≤1，故

|MA|•|MB|

|AB|

的最小值为

1

3 • 2

=

6

6

．

点评：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，参数的几何意义的应用，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．