Question

在极坐标系Ox中，已知曲线C₁：ρcos（=，C₂：ρ=1（0≤θ≤π），C₃：，设C₁与C₂交于点M
（I）求点M的极坐标；
（II）若动直线l过点M，且与曲线C₃交于两个不同的点A，B，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，解方程组求得点M的直角坐标为（1，0），从而求得它的极坐标．
（II）设动直线l的参数方程为 ，代入曲线C₃的方程整理，利用一元二次方程根与系数的关系求得t₁+t₂和t₁•t₂的值，再由|MA|•|MB|=|t₁•t₂|，|AB|=
，求出=，由此求得它的最小值．
解答：解：（I）曲线C₁：ρcos（=，即 x-y=1，C₂：ρ=1（0≤θ≤π），即 x²+y²=1（y≥0）．
 由求得点M的坐标为（1，0），故它的极坐标为（1，0）．
（II）设动直线l的参数方程为 ，代入曲线C₃的方程整理可得 （3sin²α+cos²α）t²+2cosα•t-2=0，
设点A，B对应的参数分别为t₁，t₂，则 t₁+t₂=，t₁•t₂=．
∴|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=，|AB|==，
∴=．
∵0≤α≤π，∴0≤sin²α≤1，故的最小值为 =．
点评：本题主要考查简单曲线的极坐标方程，参数的几何意义的应用，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．