Question

13．（1）设x＞0，y＞0，若$\sqrt{2}$是2^x与4^y的等比中项，则x²+2y²的最小值为$\frac{1}{3}$．
（2）m，n＞0，m+n=1，求$\frac{{m}^{2}}{m+2}$+$\frac{{n}^{2}}{n+1}$的最小值$\frac{1}{4}$．
（3）设a+b=2，b＞0，则$\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}$的最小值$\frac{3}{4}$．
（4）根据以上小题的解答，总结说明含条件等式的求最值问题的解决策略（写出两个）①化为二次函数问题来解决
②利用基本不等式的性质．

Answer 1

分析 （1）利用等比中项建立等式关系，消去其中一个未知数，构造二次函数求解．
（2）利用导函数求解．
（3）把$\frac{1}{2|a|}=\frac{a+b}{4|a|}$，分离后，利用基本不等式的性质即可．

解答 解：（1）由题意：x＞0，y＞0，$\sqrt{2}$是2^x与4^y的等比中项，则有：2^x•4^y=2⇒x+2y=1
那么：x²+2y²=（1-2y）²+2y²=6y²-4y+1=$6（y-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{3}$，当y=$\frac{1}{3}$时，x²+2y²取得最小值为$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$
（2）m，n＞0，m+n=1，那么：n=1-m（0＜m＜1）．
则：$\frac{{m}^{2}}{m+2}$+$\frac{{n}^{2}}{n+1}$=$\frac{{m}^{2}}{m+2}+\frac{（1-m）^{2}}{2-m}$=$\frac{4}{m+2}+\frac{1}{2-m}-2$
令f（m）=$\frac{{m}^{2}}{m+2}+\frac{（1-m）^{2}}{2-m}$，那么f′（m）=$\frac{（6-m）（3m-2）}{（{m}^{2}-4）^{2}}$
令f′（m）=0，解得m=$\frac{2}{3}$．
当0＜m＜$\frac{2}{3}$时，有f′（m）＜0，
当$\frac{2}{3}$＜m＜1时，有f′（m）＞0，
故当m=$\frac{2}{3}$时，f（m）取得极小值，即最小值．
∴f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{\frac{2}{3}+2}+\frac{1}{2-\frac{2}{3}}-2=\frac{1}{4}$
故最小值为$\frac{1}{4}$．
（3）∵b＞0，a+b=2，∴$\frac{1}{2|a|}=\frac{a+b}{4|a|}$，
那么：$\frac{1}{2|a|}+\frac{|a|}{b}$=$\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$
当a＞0时，$\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{a}{b}+\frac{b}{4a}≥1$+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，当且仅当2a=b=$\frac{4}{3}$时取等号．
当a＜0时，$\frac{a+b}{4|a|}+\frac{|a|}{b}$=-$\frac{1}{4}$+$\frac{a}{b}+\frac{b}{4a}≥1$-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，当且仅当a=-2，b=4时取等号．
故答案为$\frac{3}{4}$．
（4）①化为二次函数问题来解决；②利用基本不等式的性质；③利用导函数来求最值．

点评 本题考查了基本不等式的性质的变形与运用欲二次函数相结合求最值的问题．比较综合性．属于中档题．