Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

2

，∠ABC=90°，如图，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．

（Ⅰ）求证：CD⊥AB；
（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）证明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用线面垂直的性质可得CD⊥AB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量，进而可求点M到平面ACD的距离．

解答： （Ⅰ）证明：由已知条件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD…（2分）
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．
∴CD⊥平面ABD…（4分）
又∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB…（6分）
（Ⅱ）解：以点D为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，0）．
∴

CD

=(0， -2， 0)，

AD

=(-1， 0， -1)…（8分）
设平面ACD的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

CD

⊥

n

，

AD

⊥

n

∴

y=0 x+z=0

令x=1，得平面ACD的一个法向量为

n

=(1，0，-1)…（10分）
∴点M到平面ACD的距离d=

| n • MC |

| MC |

=

2

2

…（12分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．