Question

函数f（x）=（x-1）lnx的零点个数为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：f′（x）=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞），再求解导数判断f′（x）=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞）单调递增，求解得出函数f（x）=（x-1）lnx，x∈10，+∞）单调递增，（0，1）单调递减，f（x）的极小值为：f（1）=（1-1）ln1=0，可判断答案．

解答： 解：∵函数f（x）=（x-1）lnx，
∴f′（x）=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞），
∵y=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞），
∴y′=

1

x

+

1

x2

＞0，
∴f′（x）=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞）单调递增，
∵f′（x）=0，x=1，
f′（x）＞0，x＞1，
f′（x）＜0，0＜x＜1，
∴函数f（x）=（x-1）lnx，x∈（1，+∞）单调递增，（0，1）单调递减，
∴f（x）的极小值为：f（1）=（1-1）ln1=0
可知函数f（x）=（x-1）lnx的零点个数为1，
故答案为：1

点评：本题考查了函数的零点的判断方法，导数在求解极值，单调性的运用，属于中档题．