Question

【题目】如图，在三棱锥中，，的面积等于．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据的面积等于和，求出，进一步求出或，根据三角形两边之和大于第三边取，由知，进一步证明平面，从而.

（Ⅱ）先求出，再根据等体积法，求出点到平面的距离，则直线与平面所成角的正弦值可求.

解：（Ⅰ）如图，

由的面积等于，

，，

，

在中，结合余弦定理可知，

当，

，

当时，

，

所以或，

又因为在中，，

因为，所以，

又，

则，所以，

又，所以，

又，所以平面，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面，

得平面平面，作于点，

可知平面，由，

，

所以，，

所以，

在，边上的高为，

，，

设点到平面的距离，

由等体积法，

可得

设直线与平面所成的角为，

则．