[题目]已知分别为椭圆的左.右焦点.为该椭圆的一条垂直于轴的动弦.直线与轴交于点.直线与直线的交点为.(1)证明:点恒在椭圆上.(2)设直线与椭圆只有一个公共点.直线与直线相交于点.在平面内是否存在定点.使得恒成立?若存在.求出该点坐标,若不存在.说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆的一条垂直于轴的动弦，直线与轴交于点，直线与直线的交点为.

（1）证明：点恒在椭圆上.

（2）设直线与椭圆只有一个公共点，直线与直线相交于点，在平面内是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）见解析（2）存在，

【解析】

（1）根据题意求得的坐标，设出的坐标，求得直线的方程，由此求得的坐标，代入椭圆方程的左边，化简后得到，由此判断出恒在椭圆上.

（2）首先判断直线的斜率是否存在.然后当直线斜率存在时，设出直线的方程，判断出的位置并设出的坐标.联立直线的方程和椭圆方程，化简后利用判别式等于零求得的关系式，进而求得的坐标，结合点坐标以及，利用列方程，结合等式恒成立求得的坐标.

（1）证明：由题意知，设，则.

直线的方程为，直线的方程为，

联立可得，，即的坐标为.

因为，

所以点恒在椭圆上.

（2）解：当直线的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线的方程为，由对称性可知，若平面内存在定点，使得恒成立，则一定在轴上，故设，

由可得.

因为直线与椭圆只有一个公共点，

所以，

所以.

又因为，所以，

即.

所以对于任意的满足的恒成立，

所以解得.

故在平面内存在定点，使得恒成立.

练习册系列答案

区间

[25,30)

[30,35)

[35,40)

[40,45)

[45,50]

人数

(1)求正整数a，b，N的值；

(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是

多少？

(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．

【题目】已知抛物线的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P.

（1）若P的坐标为，求直线的斜率；

（2）若P始终不在椭圆的内部（不包括边界），求外接圆面积的最小值.

【题目】上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：

黄赤交角
正切值	0.439	0.444	0.450	0.455	0.461
年代	公元元年	公元前2000年	公元前4000年	公元前6000年	公元前8000年

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( )

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

【题目】在三棱锥D-ABC中，，且，，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（）

A.B.平面ABD

C.三棱锥A-CMN的体积的最大值为D.AD与BC一定不垂直

【题目】如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点.

（1）证明：平面.

（2）若，求二面角的正弦值.

【题目】某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为，，，，，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：