Question

在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点，
（1）求点A到平面A₁DE的距离；
（2）求证：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

Answer 1

（1）解：分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），
∴=（2，0，2），=（1，2，0），=（2，0，0）
设平面A₁DE的法向量是=（a，b，c）
则，∴=（-2，1，2）
∴点A到平面A₁DE的距离是d==；
（2）证明：∵=（0，-2，1），
∴•=-2+2=0，∴⊥，
∴CF∥平面A₁DE；
（3）解：∵平面A₁DA的法向量为=（0，2，0），平面A₁DE的法向量是=（-2，1，2）
∴cos＜＞===．
分析：（1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的点到平面的距离公式即可求得点A到平面A₁DE的距离；
（2）确定•=-2+2=0，可得⊥，从而可得CF∥平面A₁DE；
（3）确定平面A₁DA的法向量、平面A₁DE的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．
点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、直线与平面平行的判定等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题．