Question

在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点，
（1）求点A到平面A₁DE的距离；
（2）求证：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E-A₁D-A的平面角大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的点到平面的距离公式即可求得点A到平面A₁DE的距离；
（2）确定

CF

•

n

=-2+2=0，可得

CF

⊥

n

，从而可得CF∥平面A₁DE；
（3）确定平面A₁DA的法向量、平面A₁DE的法向量，利用向量的夹角公式，即可得到结论．

解答：（1）解：分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），
∴

DA1

=（2，0，2），

DE

=（1，2，0），

DA

=（2，0，0）
设平面A₁DE的法向量是

n

=（a，b，c）
则

n • DA1 =2a+2c=0 n • DE =a+2b=0

，∴

n

=（-2，1，2）
∴点A到平面A₁DE的距离是d=

| DA • n |

| n |

=

4

3

；
（2）证明：∵

CF

=（0，-2，1），
∴

CF

•

n

=-2+2=0，∴

CF

⊥

n

，
∴CF∥平面A₁DE；
（3）解：∵平面A₁DA的法向量为

m

=（0，2，0），平面A₁DE的法向量是

n

=（-2，1，2）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

2

2• 4+1+4

=

1

3

．

点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、直线与平面平行的判定等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力，属于中档题．