Question

在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点．
（1）求证：CF∥平面A₁DE；
（2）求点A到平面A₁DE的距离．

Answer 1

分析：先分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），再写出向量

DA 1

，

DE

的坐标，求出平面A₁DE的法向量

n

．
（1）利用向量坐标之间的关系证得

CF

⊥

n

，从而得出CF∥平面A₁DE．
（2）利用向量的点到平面的距离公式即可求得点A到平面A₁DE的距离．

解答：解 分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角
坐标系，则A（2，0，0），A₁（2，0，2），E（1，2，0），
D（0，0，0），C（0，2，0），F（0，0，1），则

DA 1

=（2，0，2），

DE

=（1，2，0）
设平面A₁DE的法向量是

n

=(a，b，c)
则

n • DA 1 =2a+2c=0 n • DE =a+2b=0

，

n

=(-2，1，2)
（1）

CF

=(0，-2，1)，
∴

CF

•

n

=-2+2=0，∴

CF

⊥

n

，
所以，CF∥平面A₁DE．
（2）点A到平面A₁DE的距离是
d=

| DA • n |

| n |

=

4

3

．
点A到平面A₁DE的距离

4

3

．

点评：本小题主要考查点、线、面间的距离计算、直线与平面平行的判定等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力．属于基础题．