Question

已知函数f（x）=cos（x-

2π

3

）-mcosx+

3

2

是奇函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期以及对称轴方程；
（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（B）=

3- 3

2

，b=1，c=

3

，且a＞b，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）先求得m的值，即可化简求得函数f（x）的解析式，从而可求最小正周期以及对称轴方程；
（2）由已知，可先求得B，由余弦定理可得a=b=1，从而可判断△ABC的形状为等腰三角形．

解答： 解：（1）函数f（x）=cos（x-

2π

3

）-mcosx+

3

2

是奇函数．
∴f（0）=0
即cos

2π

3

-m+

3

2

=0
解得m=1
∴f（x）=-

1

2

cosx+

3

2

sinx-cosx+

3

2

=-

3

2

cosx+

3

2

sinx+

3

2

=

3

sin（x-

π

3

）+

3

2

∴T=

2π

1

=2π，对称轴x=kπ+

5π

6

，k∈Z
（2）∵f（B）=-

3

2

cosB+

3

2

sinB+

3

2

=

3- 3

2

∴

3

cosB-sinB=1
∴2cos（B+

π

6

）=1
∴B+

π

6

=

π

3

∴B=

π

6

又∵b=1，c=

3

∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

解得a=1
∴△ABC为等腰三角形．

点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数，余弦定理的应用，三角函数的周期性及其求法，属于中档题．