Question

已知定义域为R的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=|x-

a

|-

a

（a≥0），且对x∈R，恒有f（x+a）≥f（x），则实数a的取值范围是（　　）

• A、[0，2]
• B、{0}∪[2，+∞）
• C、[0，

  1

  16

  ]
• D、{0}∪[16，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：当x≥0时，f（x）=|x-

a

|-

a

=

x-2 a ，x≥ a -x，0≤x＜ a

，利用奇函数的性质可得：当x＜0时可得f（x）=-f（-x）=

x+2 a ，x≤- a -x，- a ≤x＜0

．f（x）的图象如图所示：当x＜0时，函数的最大值为

a

，由于对x∈R，恒有
f（x+a）≥f（x），则a≥3

a

-（-

a

），解得即可．

解答： 解：当x≥0时，f（x）=|x-

a

|-

a

=

x-2 a ，x≥ a -x，0≤x＜ a

，
设x＜0．则-x＞0．定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=

x+2 a ，x≤- a -x，- a ≤x＜0

．
f（x）的图象如图所示：
当x＜0时，函数的最大值为

a

，
∵对x∈R，恒有f（x+a）≥f（x），
则a≥3

a

-（-

a

），
解得a=0或a≥16．
故选：D．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．