Question

20．已知球O的体积为36π，则该球的内接圆锥的体积的最大值为$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 先确定球的半径，利用V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π{h}^{2}（6-h）$=$\frac{1}{6}π{h}^{2}（12-2h）$，根据基本不等式即可求得结论．

解答 解：∵球的体积为36π
∴球的半径为3．
设球的内接圆锥的底面半径为r，高为h，则r²=h（6-h），
V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π{h}^{2}（6-h）$=$\frac{1}{6}π{h}^{2}（12-2h）$≤$\frac{1}{6}π•（\frac{h+h+12-2h}{3}）^{3}$=$\frac{32π}{3}$．
∴球的内接圆锥的体积的最大值为$\frac{32π}{3}$．
故答案为：$\frac{32π}{3}$．

点评 本题考查球的内接圆锥，解题的关键是利用V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{1}{3}π{h}^{2}（6-h）$=$\frac{1}{6}π{h}^{2}（12-2h）$，属于中档题．