Question

11．已知函数f（x）=sin2x+cos2x．
（1）求f（x） 的周期及单调递增区间．
（2）当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式即可转化为：y=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），利用周期公式可求最小正周期，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，即可求得函数的单调递增区间．
（2）由已知可求2x+$\frac{π}{4}$的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解其值域．

解答 解：∵函数f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z，
∴f（x） 的单调递增区间为：（kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$），k∈Z，
（2）∵当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）的值域为：[-1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查正弦函数的单调性及周期性与最值，着重考查正弦函数的图象与性质的灵活应用，属于基础题．