Question

10．已知$\overrightarrow m$=（sinB，1-cosB），$\overrightarrow n$=（2，0），且$\overrightarrow m，\overrightarrow n$的夹角为$\frac{π}{3}$，其中A，B，C为△ABC的内角．
（1）求角B的大小；
（2）求sin²A+sin²C的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的夹角公式建立关系，化简即得到角B的大小；
（2）由题意，A，B，C为△ABC的内角，消去其中一个角，利用三角函数的有界限，即可求出范围．

解答 解：由题意：$\overrightarrow m，\overrightarrow n$的夹角为$\frac{π}{3}$，根据平面向量的夹角公式：
得：cos$\frac{π}{3}$=$\frac{2×sinB+0×（1-cosB）}{\sqrt{si{n}^{2}B+（1-cosB）^{2}}•\sqrt{0+{2}^{2}}}$
?$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2sinB}{2•\sqrt{-2cosB}}$
?$\sqrt{3}•\sqrt{-2cosB}=2sinB$
∵$\sqrt{-2cosB}有意义$，∴cosB＜0．
解得：cosB=-$\frac{1}{2}$；
所以：B=$\frac{2π}{3}$．
（2）由题意：A，B，C为△ABC的内角．A+B+C=π
∴A+C=$\frac{π}{3}$
sin²A+sin²C=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2A+\frac{1}{2}-cos2C$
=$-\frac{1}{2}（cos2A+cos2C）+1$
=$-\frac{1}{2}$[cos2A+cos2（$\frac{π}{3}-A$）]+1
=$-\frac{1}{2}sin（2A+\frac{π}{6}）+1$
∵$A∈（0，\frac{π}{3}）$，
∴2A$+\frac{π}{6}∈$（$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$）．
由三角函数的图象和性质可知：当2A$+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，sin²A+sin²C取得最小值$\frac{1}{2}$；
当2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$时，sin²A+sin²C取得最大值1；
但∵2A$+\frac{π}{6}∈$（$\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$），取不到$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$，
∴sin²A+sin²C最大值小于1
所以：sin²A+sin²C的取值范围是：[$\frac{1}{2}，1$）

点评 本题考查了平面向量的夹角公式的运算与三角函数的图象和性质的结合，同时考查了解三角形的化简能力和计算能力．属于中档题．