Question

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为.

           

   图1             图2                 图3                         图4

（1）求出,,,;

（2）找出与的关系，并求出的表达式；

（3）求证：().

 

Answer 1

【答案】

（1）12,27,48,75.

（2）， ．

（3）利用“放缩法”。．

【解析】

试题分析：（1）由题意有

，

，

，

，

．                              2分

（2）由题意及（1）知，，    4分

即，

所以，

，

，

，                           5分

将上面个式子相加，得：

                                               6分

又，所以．                    7分

（3）

∴．            9分

当时，，原不等式成立．        10分

当时，，原不等式成立．   11分

当时，

， 原不等式成立．                 13分                                                   

综上所述，对于任意，原不等式成立．         14分

考点：归纳推理，不等式的证明，“裂项相消法”。

点评：中档题，本题综合性较强，注意从图形出发，发现规律，确定“递推关系”。不等式的证明问题，往往需要先放缩，后求和，再证明。