Question

下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式；
（3）求证：

1

1 3 f(1)+3

+

1

1 3 f(2)+5

+

1

1 3 f(3)+7

+…+

1

1 3 f(n)+2n+1

＜

25

36

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由图分别求出f（2），f（3），f（4），f（5）．
（2）根据（1）的几个数值，归纳出f（n）的表达式．
（3）利用归纳的f（n）的表达式，将数列进行化简求和，然后利用归纳法证明不等式．

解答：解：（1）由题意有f（1）=3，f（2）=f（1）+3+3×2=12，
f（3）=f（2）+3+3×4=27，f（4）=f（3）+3+3×6=48，f（5）=f（4）+3+3×8=75．                                            …（2分）
（2）由题意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+3×2n=f（n）+6n+3，…（4分）
即f（n+1）-f（n）=6n+3，
所以f（2）-f（1）=6×1+3，
f（3）-f（2）=6×2+3，
f（4）-f（3）=6×3+3，
…f（n）-f（n-1）=6（n-1）+3，…（5分）
将上面（n-1）个式子相加，
得：f（n）-f（1）=6[1+2+3+…+（n-1）]+3（n-1）=6×

(1+n-1)(n-1)

2

+3(n-1)=3n²-3…（6分）
又f（1）=3，所以f（n）=3n²．                   …（7分）
（3）∵f（n）=3n²
∴

1

1 3 f(n)+2n+1

=

1

n2+2n+1

=

1

(n+1)2

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．           …（9分）
当n=1时，

1

1 3 f(1)+3

=

1

4

＜

25

36

，原不等式成立．       …（10分）
当n=2时，

1

1 3 f(1)+3

+

1

1 3 f(2)+5

=

1

4

+

1

9

=

13

36

＜

25

36

，原不等式成立．  …（11分）
当n≥3时，

1

1 3 f(1)+3

+

1

1 3 f(2)+5

+

1

1 3 f(3)+7

+…+

1

1 3 f(n)+2n+1

＜

1

1 3 ×3+3

+

1

1 3 ×12+5

+(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

+

1

9

+

1

3

-

1

n+1

=

25

36

-

1

n+1

＜

25

36

，原不等式成立．                …（13分）
综上所述，对于任意n∈N*，原不等式成立．        …（14分）

点评：本题的考点是归纳推理以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较，强运算量较大．