Question

15．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，则动点P的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为①②（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 对4个选项分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1的焦点坐标为（±5，0），椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1的焦点坐标为（±5，0），所以双曲线$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}$=1与椭圆$\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{24}$=1有相同的焦点，正确；
②不妨设抛物线为标准抛物线：y²=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴．
设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．
而P到准线的距离d₁=|PF|，Q到准线的距离d₂=|QF|．
又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=$\frac{|PF|+|QF|}{2}$，
由抛物线的定义可得：$\frac{|PF|+|QF|}{2}$=$\frac{|PQ|}{2}$=半径．
所以圆心M到准线的距离等于半径，
所以圆与准线是相切，正确．
③平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，所以不正确；
④设定圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），由$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）$，可知P为AB的中点，则B（2x-m，2y-n），因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，把B的坐标代入圆x²+y²+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确．
故答案为：①②．

点评 本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆与双曲线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．