Question

6．如图所示，MA为圆O的切线，A为切点，割线MC交圆O于B，C两点，MA=6，MB=3，AB=$\sqrt{17}$，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D，E．
（Ⅰ）求证：$\frac{MA}{MC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（Ⅱ）求AD和AE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知条件得到△PAB∽△PCA，于是得到结论；
（Ⅱ）由切割线定理求出MC=12，BC=9，根据已知条件推出△ACE∽△ADB，列比例式即可得到结果．

解答 解：（Ⅰ）∵MA为圆O的切线，
∴由弦切角定理可得∠MAB=∠ACM，
∵∠M=∠M，
∴△ABM∽△CAM，
∴$\frac{MA}{MC}$=$\frac{AB}{CA}$
∵∠BAC的角平分线与BC交于点D，
∴由角平分线定理可得$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AB}{CA}$，
∴$\frac{MA}{MC}$=$\frac{BD}{CD}$；
（Ⅱ）连接AO，CE．
∵MA为圆O的切线，MBC是过点O的割线，
∴由切割线定理得MA²=MB•MC，
∵MA=6，MB=3，
∴6²=3MC
∴MC=12，
∵MB=3，∴BC=9，
∵∠CAB=90°，
∴AC²+AB²=BC²=81，
由（1）知$\frac{MA}{MC}$=$\frac{AB}{CA}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=$\frac{18}{5}$$\sqrt{5}$，AB=$\frac{9}{5}$$\sqrt{5}$，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∵同弧所对的圆周角相等，∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴AD•AE=AB•AC=$\frac{162}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，切割线定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．