Question

函数f(x)=e-x•

x

则（　　）

• A、仅有最小值

  1

  2e

• B、仅有最大值

  1

  2e

• C、既有最小值0，也有最大值

  1

  2e

• D、既无最大值，也无最小值

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：由f′(x)=-e-x•

x

+

1

2

e-x•

1

x

=e-x•

1-2x

2 x

=0，得：x=

1

2

，由此求出函数f(x)=e-x•

x

在[0，

1

2

)单调递增，在(

1

2

，+∞)单调递减，f(x)=e-x•

x

≥0恒成立，由此能求出函数既有最小值0，也有最大值

1

2e

．

解答： 解：∵f(x)=e-x•

x

，∴函数的定义域为[0，+∞），
由f′(x)=-e-x•

x

+

1

2

e-x•

1

x

=e-x•

1-2x

2 x

=0，得：x=

1

2

，
由f′（x）＞0，得0＜x＜

1

2

，由f′（x）＜0，得x＞

1

2

，
∴函数f(x)=e-x•

x

在[0，

1

2

)单调递增，在(

1

2

，+∞)单调递减，
又f(x)=e-x•

x

≥0恒成立，
∴x=0时函数f(x)=e-x•

x

取最小值0，
x=

1

2

时函数f(x)=e-x•

x

取最大值，最大值为

1

2e

．
故选：C．

点评：本题考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．