题目内容

给出下列命题：
①向量
AB
与
CD
是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②已知
e
是单位向量，且|
a
+
e
|=|
a
-2
e
|，则
a
在
e
方向上的投影为
1
2
；
③若Sn是等差数列{an}的前n项和，则三点（10，
S10
10
）、（100，
S100
100
、（110，
S110
110
）共线；
④若Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1=-11，a3+a7=-6，则S1、S2、…、Sn这n个数中必然存在一个最大值；
其中正确命题的是
 
．
考点：命题的真假判断与应用
专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用
分析：由共线向量的概念，即可判断①；两边平方，运用向量的模等于向量的平方，以及向量的数量积的定义和投影的概念，即可判断②；由等差数列的求和公式，推出数列{
Sn
n
}是等差数列，由图象即可判断③；求出通项公式，判断数列的单调性，求出最值，即可判断④．
解答： 解：①向量
AB
与
CD
是共线向量，则它们的起点不一定相同，故A，B，C，D不一定共线，故①错；
②已知
e
是单位向量，且|
a
+
e
|=|
a
-2
e
|，则两边平方得，
a
•
e
=
1
2
，|
a
|•cosθ=
1
2
，即
a
在
e
方向上的投影为
1
2
，故②正确；
③若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn=na1+
n(n-1)
2
d，
Sn
n
=a1+
d
2
（n-1），即数列{
Sn
n
}是等差数列，则它们表示的图象是一直线上孤立的点，故三点（10，
S10
10
）、（100，
S100
100
、（110，
S110
110
）共线；即③正确；
④若Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1=-11，a3+a7=-6，则由通项公式得，2a1+8d=-6，d=2，则数列{an}是递增的数列，且an=2n-13，a6＜0，a7＞0，故S6最小，故④错．
故答案为：②③
点评：本题以命题的真假为载体，考查平面向量的关系和向量的数量积的定义及向量的投影，同时考查等差数列的通项和求和公式，及数列的单调性和最值问题，是一道综合题．
练习册系列答案
相关题目
f（x）=2cos2x-2acosx-1-2a的最小值为g（a），a∈R
（1）求g（a）；
（2）若g（a）=
1
2
，求a及此时f（x）的最大值．
函数f（x）=x2-ax+b，a，b∈R．若f（x）在区间（-∞，1）上单调递减，则a的取值范围
 
．
若函数f（x）=x3+ax2+bx+a2，在x=1时有极值4，则ab的值为
 
．
函数y=
1-cosx
2sinx-1
+log2（2cosx+
2
）的定义域是
 
．
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，F分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左顶点、右焦点，C上的点P满足PF⊥x轴，射线AP交C的右准线于点Q，若直线QA、QO、QF的斜率，依次成等差数列，则椭圆C的离心率为
 
．
已知向量
a
，
b
的夹角为
3π
4
，
a
=（-1，1），|
b
|=2，则|
a
+2
b
|=
 
．
若函数f（x）=|x-a|在区间（-∞，1]内为减函数，则a的范围是
 
．
函数f(x)=e-x•
x
则（　　）
A、仅有最小值
1
2e
B、仅有最大值
1
2e
C、既有最小值0，也有最大值
1
2e
D、既无最大值，也无最小值

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