Question

如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角A-CE-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得DE⊥AF，AF⊥CD，由此能证明AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）法一：取CE的中点Q，连接FQ，由已知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，建立坐标系，利用向量法能求出二面角A-CE-D的余弦值．
（Ⅱ）法二：过点F作FG⊥CE于点G，CE中点为H，连结DH，∠AGF即为二面角A-CE-D的平面角，由此能求出二面角A-CE-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，
∵CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．…（4分）
（Ⅱ）解法一：取CE的中点Q，连接FQ，
∵F为CD的中点，则FQ∥DE，∴DE⊥平面ACD，∴FQ⊥平面ACD，
又由（Ⅰ）可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，
建立如图坐标系，
则F（0，0，0），C（-1，0，0），
A（0，0，

3

），B（0，1，

3

），E（1，2，0）．
设面ACE的法向量

n

=（x，y，z），则

n • CE =x+y=0 n • AC =-x- 3 z=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，-

3

，-1）．
又平面CED的一个法向量为

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=|

m • n

| m |•| n |

|=

7

7

．
∴二面角A-CE-D的余弦值为

7

7

．
（Ⅱ）解法二：过点F作FG⊥CE于点G，CE中点为H，连结DH．
∵AF⊥平面CDE，∴AF⊥CE，又∵FG⊥CE，
∴CE⊥平面AFG，∴∠AGF即为二面角A-CE-D的平面角．
在等边三角形ACD中，AF=

3

，在等腰直角三角形CDE中，FG=

1

2

HD=

2

2

，
故在直角三角形AFG中，tan∠AGF=

AF

FG

=

6

，
即cos∠AGF=

7

7

，则二面角A-CE-D的余弦值为

7

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．