Question

若函数f（x）的图象上存在不同两点A，B，设线段AB的中点为M（x₀，y₀），使得f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线l与直线AB平行或重合，则称切线l为函数f（x）的“平衡切线”．则函数f（x）=2aln（x+1）+x²-2x的“平衡切线”的条数为（　　）

• A、2条或无数条
• B、1条或无数条
• C、0条或无数条
• D、2条或0条

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：分情况讨论：①当a=0时，②当a≠0时的情况，从而得出答案．

解答： 解：①当a=0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₂＞x₁），
AB中点坐标为：（x₀，y₀），
∴2x₀=x₁+x₂，
∴K_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(x2+x1)(x2-x1)-2(x2-x1)

x2-x1

，
∴x₂+x₁-2=2x₀-2，
又∵f′（x₀）=2x₀-2，
∴切线l为f（x）平衡切线，且有无数条；
②当a≠0时，K_AB=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

2aln( x2+1 x1+1 )

x2-x1

+2x₀-2，
f′（x₀）=

2a

x0+1

+2x₀-2，
令f′（x₀）=K_AB，则

x2-x1

x0+1

=ln（

x2+1

x1+1

）（*），
设x₀到x₁，x₂的距离都为d，
则（*）式化为：

2d

x0+1

=ln（

x0+d+1

x0-d+1

），
（x₀＞-1）且x₀＞d-1，
∴

2d

x0+1

＜

2d

d-1+1

=2，
又∵

2d

x0+1

＞

2(x0+1)

x0+1

=2，
因此，前后矛盾，不存在这样的x₀ 和d，
故选：C．

点评：本题考查了新定义问题，考查了导数的应用，考查了分类讨论思想，是一道综合题．