Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物x²=4y的焦点F重合，且椭圆的离心率为

2

2

．
（1）求椭圆的方程．
（2）过点P（t，-1）作抛物线的两条切线，切点分别为M，N，直线MN与椭圆交于A，B两点，直线PF与椭圆交于C，D两点，如图所示．
①求直线MN的方程．
②求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出抛物线x²=4y的焦点F（0，1），则c=1，再由椭圆的离心率公式，即可得到a，再由a，b，c的关系，求出b，即可得到椭圆方程；
（2））①设出切点，求出函数y=

1

4

x²的导数，求得切线的斜率，求出切线方程，得到交点P，即可得到MN的方程；
②求出直线PF的方程，得到MN⊥PF，联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，得到AB，CD的长，再由面积公式S=

1

2

|AB|•|CD|，化简整理，讨论t=0，t≠0，分别求出最值即可，注意运用基本不等式．

解答： 解：（1）抛物线x²=4y的焦点F（0，1），则c=1，
∵椭圆的离心率为

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，∴b=1，
∴椭圆的方程为

y2

2

+x2=1；
（2）①设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），y=

1

4

x²的导数y′=

1

2

x，
y₁=

1

4

x₁²，y₂=

1

4

x₂²，
则切线PM：y-

x12

4

=

1

2

x₁（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

x12

4

，
同理切线PN：y=

1

2

x₂x-

x22

4

，
联立求得P（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），则x₁+x₂=2t，x₁x₂=-4，
∴直线MN的方程为y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，即y=

1

2

tx+1，
②直线PF：y-1=-

2

t

（x-6），即y=-

2

t

x+1，
∵

1

2

t•（-

2

t

）=-1，∴MN⊥PF，
由

2x2+y2=2 y= 1 2 tx+1

消去y，得，（8+t²）x²+4tx-4=0，显然△＞0，
x₁+x₂=-

4t

8+t2

，x₁x₂=

-4

8+t2

，2
则弦长AB=

1+ t2 4

•

16t2 (8+t2)2 + 16 8+t2

，
同理由

2x2+y2=2 y=- 2 t x+1

消去y，可得弦长CD=

1+ 4 t2

•

256t2 (8t2+16)2 + 2t2 t2+2

，
则有四边形ABCD的面积S=

1

2

|AB|•|CD|=

2(4+t2)2

(2+t2)(8+t2)

=2•

t4+8t2+16

t4+10t2+16

=2•

1

1+ 2t2 t4+8t2+16

，
故当t=0时，面积S有最大值2，
当t≠0时，S=2•

1

1+ 2 t2+ 16 t2 +8

，当且仅当t²=

16

t2

，即t=±2时，S最小，且为

16

9

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，以及弦长公式的运用，同时考查运用导数求切线的方程，考查运算能力，属于中档题．