Question

19．在数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，并且当n≥2时，a_n=$\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}$．
（1）求证数列$\{\frac{1}{S_n}\}$是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，可得$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$（n≥2），由此说明数列$\{\frac{1}{S_n}\}$是以2为公差的等差数列；
（2）由（1）求出S_n，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：由a_n=$\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}$，得${S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2），
即S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}=2$（n≥2）．
∴数列$\{\frac{1}{S_n}\}$是以2为公差的等差数列；
（2）解：由（1）知，数列$\{\frac{1}{S_n}\}$是以2为公差的等差数列，又a₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{1}}=2$，则$\frac{1}{{S}_{n}}=2+2（n-1）=2n$，
∴${S_n}=\frac{1}{2n}$．
则${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2（n-1）}=-\frac{1}{2n（n-1）}$（n≥2）．
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}，（n=1）\\-\frac{1}{2n（n-1）}，（n≥2）\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．