Question

设数列{a_n}满足a₁=t，a₂=t²，且t≠0，前n项和为S_n，且S_n+2-（t+1）S_n+1+tS_n=0（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）当

1

2

＜t＜2时，比较2ⁿ+2^-n与tⁿ+t^-n的大小；
（3）若

1

2

＜t＜2，b_n=

2an

1+ a 2 n

，求证：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2ⁿ-

2-n

．

Answer 1

分析：（1）把给出的递推式展开后整理，得到a_n+2=ta_n+1，由给出的a₁=t（t≠0），即可说明数列{a_n}是等比数列，则通项公式可求；
（2）直接作差后由t的范围可得差式的符号，则给出的两个代数式的大小得到比较；
（3）把（1）中求出的a_n的通项公式代入，整理后可得

1

bn

=

1

2

（tⁿ+t^-n），不等式右侧放缩后利用等比数列求和公式可得结论．

解答：（1）证明：由S_n+2-（t+1）S_n+1+tS_n=0，
得tS_n+1-tS_n=S_n+2-S_n+1，即a_n+2=ta_n+1（n∈N^*），
∴

an+2

an+1

=t(n∈N*)，
又a₁=t（t≠0），a₂=t²，∴

a2

a1

=t，
∴数列{a_n}是以t为首项，t为公比的等比数列，
∴a_n=tⁿ；
（2）解：∵（tⁿ+t^-n）-（2ⁿ+2^-n）
=tn-2n+

1

tn

-

1

2n

=tn-2n+

2n-tn

2ntn

=（tⁿ-2ⁿ）[1-（

1

2t

）ⁿ]．
又

1

2

＜t＜2，∴

1

4

＜

1

2t

＜1，
则tⁿ-2ⁿ＜0且1-（

1

2t

）ⁿ＞0，
∴（tⁿ-2ⁿ）[1-（

1

2t

）ⁿ]＜0，
∴tⁿ+t^-n＜2ⁿ+2^-n．
（3）证明：∵bn=

2an

1+an2

=

2tn

1+tn2

，
∴

1

bn

=

1

2

（tⁿ+t^-n），
∴2（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

）＜（2+2²+…2ⁿ）+（2^-1+2^-2+…+2^-n）
=

2(1-2n)

1-2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2（2ⁿ-1）+1-2^-n
=2ⁿ⁺¹-（1+2^-n）＜2ⁿ⁺¹-2

2-n

，
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜2ⁿ-

2-n

．

点评：本题考查了由递推式变形得数列的等比关系，考查了等比数列的通项公式，考查了作差法比较两个代数式的大小，（3）中的放缩证明不等式是该题的难点，此题属难题．