Question

（2013•日照一模）若数列{b_n}：对于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常数），则称数列{b_n}是公差为d的准等差数列．如：若c_n=

4n-1，当n为奇数时 4n+9，当n为偶数时.

则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{a_n}满足：a₁=a，对于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求证：{a_n}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{a_n}的前n项和为S_n，试研究：是否存在实数a，使得数列S_n有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）：由已知a_n+a_n+1=2n（n∈N^*），a_n+1+a_n+2=2（n+1），即可得出a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．即可证明{a_n}为准等差数列．分n为奇偶数即可得出其通项公式．                   
（Ⅱ）分当n为偶数时，当n为奇数时，求出S_n．                              
当k为偶数时，令S_k=50，得k=10．再分别令S₉=50，S₁₁=50得出a即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+a_n+1=2n（n∈N^*）①
a_n+1+a_n+2=2（n+1）②
②-①得a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．
所以，{a_n}为公差为2的准等差数列．                       
当n为偶数时，an=2-a+(

n

2

-1)×2=n-a，
当n为奇数时，an=a+(

n+1

2

-1)×2=n+a-1；
∴an=

n+a-1，(n为奇数) n-a，(n为偶数)

．
（Ⅱ）当n为偶数时，Sn=a•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2=

1

2

n2；
当n为奇数时，Sn=a•

n+1

2

+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×2+(2-a)•

n-1

2

+

n-1 2 ( n-1 2 -1)

2

×2
=

1

2

n2+a-

1

2

．                              
当k为偶数时，Sk=

1

2

k2=50，得k=10．
由题意，有S9=

1

2

×92+a-

1

2

=50⇒a=10；
或S11=

1

2

×112+a-

1

2

=50⇒a=-10．
当a=10时，S₉，S₁₀两项等于50；当a=-10时，S₁₀，S₁₁两项等于50；
所以，a=±10．

点评：正确理解新定义和分类讨论的思想方法等是解题的关键．