Question

下列给出的四个命题中：
①在△ABC中，∠A＜∠B的充要条件是sinA＜sinB；
②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=

x

2

的图象只有一个公共点；
③函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
④在实数数列{a_n}中，已知a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|…|a_n|=|a_n-1-1|，则a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2．
其中为真命题的是

 

．（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，可得sinA＜sinB?a＜b?A＜B，即可得出．
②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=

x

2

的图象多于1个公共点，其中一个是（0，0），另外令f（x）=sinx-

x

2

，可得函数f（x）在区间(

π

2

，π)内还有一个公共点；
③不正确，例如：取f（x）=x²，则f（x+1）=（x+1）²，f（1-x）=（x-1）²；
④在实数数列{a_n}中，由a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|…|a_n|=|a_n-1-1|，可得a₂=±1，分类讨论，可得a₃，a₄．

解答： 解：①在△ABC中，由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，∴sinA＜sinB?a＜b?A＜B，∴∠A＜∠B的充要条件是sinA＜sinB；
②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=

x

2

的图象多于1个公共点，其中一个是（0，0），另外令f（x）=sinx-

x

2

，则f(

π

2

)=1-

π

4

＞0，f（π）=-

π

2

，因此函数f（x）在区间(

π

2

，π)内还有一个公共点，因此不正确；
③函数y=f（1+x）的图象与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，不正确，例如：取f（x）=x²，则f（x+1）=（x+1）²，f（1-x）=（x-1）²；
④在实数数列{a_n}中，∵a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|…|a_n|=|a_n-1-1|，则a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2．
∴a₂=±1，
当a₂=1时，a₃=0，a₄=±1，此时a₁+a₂+a₃+a₄=2或0．
当a₂=-1时，a₃=±1，当a₃=1时，a₄=0；当a₃=-1时，a₄=2．此时a₁+a₂+a₃+a₄=0．
综上可得：a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2．因此正确．
综上可得：真命题为①④．
故答案为：①④．

点评：本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系、函数的交点、对称性、含有绝对值的数列，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．