Question

19．某种产品在五个年度的广告费用支出x万元与销售额y万元的统计数据如下表：

x	2	4	5	6	8
y	20	35	50	55	80

（I）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（II）据此模型估计某年度产品的销售额欲达到108万元，那么本年度收入的广告费约为多少万元？（回归方程为y=${\;}_{b}^{∧}$x+${\;}_{a}^{∧}$其中：${\;}_{b}^{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}y}_{i}-{{n}_{x}^{-}}_{y}^{-}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-{{n}_{x}^{-}}^{2}}$，${\;}_{a}^{∧}$=${\;}_{y}^{∧}$-${\;}_{b}^{∧}$${\;}_{x}^{-}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据表中数据计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出线性回归方程；
（Ⅱ）利用线性回归方程计算${\;}_{y}^{∧}$=108时x的值即可．

解答 解：（Ⅰ）根据表中数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（2+4+5+6+8）=5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（20+35+50+55+80）=48，
根据公式计算${\;}_{b}^{∧}$=$\frac{{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}y}_{i}-{{n}_{x}^{-}}_{y}^{-}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-{{n}_{x}^{-}}^{2}}$
=$\frac{（2×20+4×35+5×50+6×55+8×80）-5×5×48}{（{2}^{2}{+4}^{2}{+5}^{2}{+6}^{2}{+8}^{2}）-5{×5}^{2}}$=$\frac{200}{20}$=10，
${\;}_{a}^{∧}$=$\overline{y}$-${\;}_{b}^{∧}$${\;}_{x}^{-}$=48-10×5=-2，
故y关于x的线性回归方程为：${\;}_{y}^{∧}$=10x-2；
（Ⅱ）当${\;}_{y}^{∧}$=108时，代入回归直线方程得108=10x-2
解得x=11，所以本年度投入的广告费用约为11万元．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．