Question

11．已知函数f（x）=|x-a|+|x-5|．
（1）当a=3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若不等式f（x）≥|x-6|的解集包含[1，3]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每一个不等式组的解集，再取并集，即为所求．
（2）根据题意，当x∈[1，3]时，不等式f（x）≥|x-6|恒成立，即a≤x-1，或a≥x+1 恒成立，由此可得a的范围．

解答 解：（1）当a=3时，求不等式f（x）≥3，即|x-3|+|x-5|≥3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜3}\\{3-x+5-x≥3}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{3≤x≤5}\\{x-3+5-x≥3}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞5}\\{x-3+x-5≥3}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x≤$\frac{5}{2}$；解②求得x∈∅；解③求得x≥$\frac{11}{2}$．
综上可得，不等式f（x）≥3的解集为{x|x≤$\frac{5}{2}$，或 x≥$\frac{11}{2}$}．
（2）若不等式f（x）≥|x-6|的解集包含[1，3]，
等价于当x∈[1，3]时，不等式f（x）≥|x-6|恒成立，
即|x-a|+|x-5|≥|x-6|恒成立，即|x-a|≥|x-6|-|x-5|=6-x-（5-x） 1恒成立，即|x-a|≥1 恒成立，
∴x-a≥1，或 x-a≤-1恒成立，即a≤x-1，或a≥x+1 恒成立，∴a≤0，或a≥4．
综上可得，a≤0，或a≥4．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．