Question

已知曲线C：y=x³-3x²+2x，直线l：y=kx，且l与C切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），则切点坐标是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：根据切点（x₀，y₀）既在曲线上，又在切线上，由导数的几何意义可得切线的斜率．联立方程组解之即可．

解答： 解：∵直线过原点，则k=

y0

x0

，（x₀≠0）．
由点（x₀，y₀）在曲线C上，则y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴

y0

x0

=x₀²-3x₀+2．
又y′=3x²-6x+2，
∴在（x₀，y₀）处曲线C的切线斜率应为k=f′（x₀）=3x₀²-6x₀+2．
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2．
整理得2x₀²-3x₀=0．
解得x₀=

3

2

（∵x₀≠0）．
这时，y₀=-

3

8

，
∴切点坐标是（

3

2

，-

3

8

）．
故答案为：（

3

2

，-

3

8

）．

点评：本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．