Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，3S_n+1是6与2S_n的等差中项（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数k，使不等式k（-1）ⁿa_n²＜S_n（n∈N^*）恒成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出Sn+1=

1

3

Sn+1，从而得到an+1=

1

3

an对n≥2都成立，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）k(-1)n(

1

3

)2(n-1)＜

1

2

[3-(

1

3

)n-1]，n∈N^*恒成立，令(

1

3

)n-1=t，0＜t＜

1

3

，则等价于2kt²+t-3＜0恒成立，由此能求出存在符合要求的正整数k，且其最大值为11．

解答： 解：（1）因为3S_n+1是6与2S_n的等差中项，
所以6+2S_n+6S_n-1（n∈N^*），即Sn+1=

1

3

Sn+1，（n∈N^*）
当n≥2时有Sn=

1

3

Sn-1+1．
得Sn+1-Sn=

1

3

(Sn-Sn-1)，即an+1=

1

3

an对n≥2都成立，
又S2=

1

3

S1+1，即a1+a2=

1

3

a1+1，所以a2=

1

3

=

1

3

a1，
所以an=

1

3n-1

．（n∈N^*）．
（2）存在正整数k，使不等式k（-1）ⁿa_n²＜S_n（n∈N^*）恒成立，
等价于k(-1)n(

1

3

)2(n-1)＜

1

2

[3-(

1

3

)n-1]，n∈N^*恒成立，
当n为奇数时，对任意正整数k，不等式恒成立；
当n为偶数时，等价于2k(

1

3

)2(k-1)+(

1

3

)n-1-3＜0恒成立，
令(

1

3

)n-1=t，0＜t＜

1

3

，则等价于2kt²+t-3＜0恒成立，
因为k为正整数，故只须2k(

1

3

)2+

1

3

-3＜0，解得0＜k＜12，k∈N^*，
所以存在符合要求的正整数k，且其最大值为11．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．