Question

6．求y=$\frac{sinx-2}{cosx-2}$的值域．

Answer 1

分析 把已知函数解析式变形，然后利用辅助角公式化简，再利用三角函数的有界性求解绝对值的不等式得答案．

解答 解：由y=$\frac{sinx-2}{cosx-2}$，得ycosx-2y=sinx-2，
即sinx-ycosx=2-2y，
∴$\sqrt{1+{y}^{2}}（\frac{1}{\sqrt{1+{y}^{2}}}sinx-\frac{y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}cosx）=2-2y$，
则sin（x-θ）=$\frac{2-2y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$（tanθ=y），
由|$\frac{2-2y}{\sqrt{1+{y}^{2}}}$|≤1，得（2-2y）²≤1+y²，
解得：$\frac{4-\sqrt{7}}{3}≤y≤\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
∴y=$\frac{sinx-2}{cosx-2}$的值域为[$\frac{4-\sqrt{7}}{3}，\frac{4+\sqrt{7}}{3}$]．

点评 本题考查函数值域的求法，训练了利用三角函数的有界性求函数的值域，是基础题．