Question

已知p：关于x的不等式x³-3|a|x+2≤0在（0，+∞）内有解；q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，若“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：探究型,简易逻辑

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．

解答： 解：若命题p为真命题，
由不等式x³-3|a|x+2≤0得3|a|≥x2+

2

x

…（2分）
∵x2+

2

x

=x2+

1

x

+

1

x

≥3

3	x2• 1 x • 1 x

=3，
∵不等式x³-3|a|x+2≤0 在（0，+∞）内有解
∴3|a|≥3，∴|a|≥1，…（6分）
若命题q为真命题，
“只有一个实数x满足x²+2ax+2a≤0”，
即抛物线y=x²+2ax+2a与x轴只有一个交点，
∴△=4a²-8a=0，
∴a=0或2，…（9分）
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a=0．
∵命题“p或q”为假命题，
∴a的取值范围为{a|-1＜a＜0或0＜a＜1}． …（12分）

点评：本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题成立的等价条件是解决此类问题的关键．