Question

若M为圆x²+y²=1上的点，求M到直线3x+4y-25=0的最小距离，并求出点M的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：圆心（0，0）到直线3x+4y-25=0的距离d=5，M点到直线3x+4y-25=0距离的最小值是5-r=5-1=4，M到直线3x+4y-25=0的距离最小时，过圆心和M点的直线与直线3x+4y-25=0垂直，由此能求出点M的坐标．

解答： 解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y-25=0的距离d=

|0+0-25|

9+16

=5，
∴如图，当M与A重合时，
M点到直线3x+4y-25=0距离的最小值是：
AC=5-r=5-1=4，
∵M到直线3x+4y-25=0的距离最小时，
BC⊥直线3x+4y-25=0，
∴k_BC=

4

3

，∴直线BC：y=

4

3

x，
联立

y= 4 3 x x2+y2=1

，得A（

3

5

，

4

5

），C（-

3

5

，-

4

5

），
∴M到直线3x+4y-25=0的距离最小时，
点M的坐标为M（

3

5

，

4

5

）．

点评：本题考查M到直线3x+4y-25=0的最小距离的求法，考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．