Question

（2014•贵州模拟）函数f（x）=x2（0＜x＜1）的图象如图所示，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与x轴和直线x=1分别交与点P、Q，点N（1，0），若△PQN的面积为S时点M恰好有两个，则S的取值范围为（ ）

A.[，） B.（，] C.（，） D.[，）

 

Answer 1

C

【解析】

试题分析：设M（t，t2），利用导数求出函数在M点处的切线方程，求出P，Q点的坐标，由三角形的面积公式求出△PQN的面积，由面积等于S整理，得到t3﹣4t2+4t=4S，令g（t）=t3﹣4t2+4t，由导数求出g（t）的最大值，再求出g（0），g（1）的值，从而得到△PQN的面积为S时点M恰好有两个时的4S的范围，则S的范围可求．

【解析】
设点M（t，t2），

由f（x）=x2（0＜x＜1），得：f′（x）=2x，

∴过点M的切线PQ的斜率k=2t．

∴切线PQ的方程为y=2tx﹣t2．

取y=0，得，

取x=1，得y=2t﹣t2，

∴P（）、Q（1，2t﹣t2），

∴=S．

整理得：t3﹣4t2+4t﹣4S=0．

即t3﹣4t2+4t=4S．

令g（t）=t3﹣4t2+4t，

则g′（t）=3t2﹣8t+4，

由g′（t）=0，解得，t2=2（舍）．

∴当t∈时，g′（t）＞0，g（t）为增函数．

当t∈时，g′（t）＜0，g（t）为减函数．

∴当t=时，g（t）有极大值，也就是（0，1）上的最大值为．

又g（0）=0，g（1）=1．

∴要使△PQN的面积为S时点M恰好有两个，

则，即．

∴S的取值范围为．

故选：C．