Question

（本题满分16分）本题共有3个小题，第一小题3分，第二小题7分，第三小题6分

如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点，

（1）若，求曲线的方程；

（2）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线的另一条渐近线上；

（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点C、D，求面积的最大值。

Answer 1

（1）和；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求解；（2）写出渐近线的方程与直线的方程，联立直线与椭圆的方程，利用中点坐标公式写出中点坐标，再验证中点在另外一条渐近线上；（3）写出直线方程，与曲线方程联立，利用弦长公式和点到直线的距离公式求弦长与高，求三角形的面积的不等式，再利用基本不等式求其最值.

试题解析：（1） 2分

则曲线的方程为和。 3分

（2）曲线的渐近线为 4分

如图，设直线 5分

则 6分

又由数形结合知， 7分

设点，

则， 8分

， 9分

，即点M在直线上。 10分

（3）由（1）知，曲线，点

设直线的方程为

10分

11分

设

由韦达定理： 12分

令，，

14分

，，当且仅当即时等号成立 15分

时， 16分

考点：1.圆锥曲线；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.基本不等式.