Question

5．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（　　）

• A． $\frac{7}{3}π$
• B． 16π
• C． 8π
• D． $\frac{28}{3}π$

Answer 1

分析 由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是一边长为2的正三角形，侧棱长是2，先求出其外接球的半径，再根据球的表面公式即可做出结果．

解答 解：由三视图知，几何体是一个正三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
如图，设O是外接球的球心，O在底面上的射影是D，且D是底面三角形的重心，AD的长是底面三角形高的三分之二
∴AD=$\sqrt{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在直角三角形OAD中，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{1}{2}×2$=1
∴OA=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$
则这个几何体的外接球的表面积4π×OA²=4π×$\frac{7}{3}$=$\frac{28}{3}π$
故选：D．

点评 本题考查由三视图求几何体的表面积，本题是一个基础题，题目中包含的三视图比较简单，几何体的外接球的表面积做起来也非常容易，这是一个易得分题目．