Question

已知椭圆C的焦点F₁（-2，0）和F₂（2，0），长轴长为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆C的方程为：，由题意及a，b，c的平方关系即可求得a，b值；
（2）联立方程组消去y可得关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理可求x₁+x₂的值，进而可得中点横坐标，代入直线方程即可求得纵坐标．
解答：解：（1）设椭圆C的方程为：，
由题意知，2a=6，c=2，∴a=3，b²=a²-c²=9-8=1，
椭圆C的标准方程为：；
（2）由，得10x²+36x+27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-=-，
∴线段AB中点横坐标为-，代入方程y=x+2得y=-+2=，
故线段AB中点的坐标为（-，）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆标准方程的求解，韦达定理、弦长公式、中点坐标公式是该部分常用的内容．