Question

在四边形ABCD中，|

AD

|=12，|

CD

|=5，|

AB

|=10，|

DA

+

DC

|=|

AC

|，

AB

在

AC

方向上的投影为8；
（1）求∠BAD的正弦值；
（2）求△BCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由|

DA

+

DC

|=|

AC

|，可求∠ADC=90°在Rt△ADC中，|

AD

|=12，|

CD

| =5，可求BD，∠DAC的三角函数值，由

AB

在

AC

方向上的投影为8可求∠CAB的三角函数值，代入sin∠BAD=sin（∠DAC+∠CAB）=sin∠DACcos∠CAB+sin∠CABcos∠DAC可求
（2）由三角形的面积公式可求S△ABC=

1

2

AB•ACsin∠BAC，S△ACD=

1

2

AD•CD，S△ABD=

1

2

AB•ADsin∠BAD而S_△BCD=S_△ABC+S_△ACD-S_△ABD可求

解答：解：（1）∵|

DA

+

DC

|=|

AC

|，
∴以

DA

，

DC

为邻边做平行四边形DAEC的对角线相等，即为矩形
∴∠ADC=90°，----（1分）
在Rt△ADC中，|

AD

|=12，|

CD

| =5，
∴|

BD

|=13，cos∠DAC=

12

13

，sin∠DAC=

5

13

，--（3分）
∵

AB

在

AC

方向上的投影为8，
|

AB

|cos∠CAB=8，|

AB

|=10
∴cos∠CAB=

4

5

，---（5分）
∵∠CAB∈（0，π），
∴sin∠CAB=

3

5

∴sin∠BAD=sin（∠DAC+∠CAB）=sin∠DACcos∠CAB+sin∠CABcos∠DAC
=

5

13

×

4

5

+

12

13

×

3

5

=

56

65

---（7分）
（2）∵S△ABC=

1

2

AB•ACsin∠BAC=39，---（8分）  
 S△ACD=

1

2

AD•CD=30，----（9分）
S△ABD=

1

2

AB•ADsin∠BAD=

672

13

---（10分） 
∴S_△BCD=S_△ABC+S_△ACD-S_△ABD=

225

13

---（12分）

点评：本题综合考查了向量的基本运算，两角和的三角公式、同角平分关系及三角形的面积公式的应用，属于综合试题