Question

19．已知a+b+c=0，求a$（\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）+b（\frac{1}{c}+\frac{1}{a}）+c（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$的值．

Answer 1

分析 a+b+c=0，可得a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）[（a+b）²-（a+b）c+c²]-3ab（a+b+c）=0．把原式化简整理即可得出．

解答 解：∵a+b+c=0，
∴a³+b³+c³-3abc
=（a+b）³+c³-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）[（a+b）²-（a+b）c+c²]-3ab（a+b+c）=0．
∴a³+b³+c³=3abc．
∴a$（\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）+b（\frac{1}{c}+\frac{1}{a}）+c（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$\frac{-{a}^{2}}{bc}+\frac{-{b}^{2}}{ac}+\frac{-{c}^{2}}{ab}$=$\frac{-（{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}）}{abc}$=$\frac{-3abc}{abc}$=-3．

点评 本题考查了乘法公式的应用、代数式的化简整理计算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．