Question

20．（1）已知函数f（x）=e^x+m-lnx，若x=1是函数f（x）的极值点，求m的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）已知f（x）=xe^x，g（x）=-（x+1）²+a，若?x₁，x₂∈[-2，0]，使得f（x₂）≤g（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的极值，求出m的值，得到f（x）的表达式，从而求出f（x）的单调区间即可；
（2）分别根据导数和二次函数的性质求出其最小值和最大值得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+m-$\frac{1}{x}$，若x=1是函数f（x）的极值点，
则f′（1）=e^1+m-1=0，解得：m=-1，
故f（x）=e^x-1-lnx，f′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）f'（x）=e^x+xe^x=（1+x）e^x，
当x＞-1时，f'（x）＞0，函数递增；
当x＜-1时，f'（x）＜0，函数递减，
所以当x=-1时，f（x）取得极小值即最小值 f（-1）=-$\frac{1}{e}$
函数 g（x）的最大值为a，若?x₁，x₂∈R使得f（x₁）≤g（x₂）成立．
则有g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，
即a≥-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题、属于中档题