题目内容

8．若?x＞0，ex-1+1≥a+lnx，则a的最大值为2．

分析 由题意：转化为a≤ex-1+1-lnx=（ex-1-x）+（x+1-lnx），利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性求最值，即可得解．

解答 解：?x＞0，ex-1+1≥a+lnx转化为a≤ex-1+1-lnx=（ex-1-x）+（x+1-lnx），
令f（x）=（ex-1-x）+（x+1-lnx）
则f′（x）=${e}^{x-1}-\frac{1}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，则f（x）是单调递减．
当x＞1时，f′（x）＞0，则f（x）是单调递增．
故得f（x）min=2．
∴a≤2，
即a的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性求最值问题解决恒成立的问题．

练习册系列答案
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A．$\sqrt{3}$B．$2\sqrt{3}$C．2D．1
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（2）已知f（x）=xex，g（x）=-（x+1）2+a，若?x1，x2∈[-2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，求实数a的取值范围．
17．下列幂函数中过点（0，0），（1，1）的奇函数是（　　）
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④定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x），当0≤x≤1时，f（x）=2x，
则f（2015）=-2．
其中正确命题是④（写出所有正确命题的序号）．

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