Question

已知：
sin²15°+sin²75°+sin²135°=

3

2

，
sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，
sin²45°+sin²105°+sin²165°=

3

2

，
通过观察上述三个等式的规律，请你写出一般性的命题，并对该命题进行证明．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：分析已知条件中，我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

解答： 解：由已知，
sin²15°+sin²75°+sin²135°=

3

2

，
sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，
sin²45°+sin²105°+sin²165°=

3

2

，
归纳推理的一般性的命题为：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=

3

2

，
证明如下：
左边=

1

2

[1-cos（2α-120）]+

1

2

（1-cos2α）+

1

2

[1-cos（2α+120）]
=

3

2

-

1

2

[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=

3

2

=右边．
∴结论正确．

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．