Question

已知复数z=a+bi，满足，z²的实部为3，且z在复平面内对应的点位于第一象限．
（1）求z、和z+2；
（2）设z、、z+2在复平面内对应点分别为A、B、C，试判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．解得a、b的值，即可求得z、和z+2．
（2）由（1）可得点A、B、C的坐标，可得 和的坐标，求得 ＜0，可得∠ABC为钝角，故三角形ABC为钝角三角形．
△ABC中，由余弦定理求得cos∠ABC=-，可得sin∠ABC=，再由△ABC的面积为 |BA|•|BC|•sin∠ABC 运算求得结果．
解答：解：（1）由题意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．
解得 ，∴z=2+i，=2-i，z+2=（2+i）+2（2-i）=6-3i．
（2）由（1）可得点A（2，1）、点B（2，-1）、点C（6，-3），∴=（0，2）、=（4，-2），
∴=0-4=-4＜0，∴∠ABC为钝角，故三角形ABC为钝角三角形．
△ABC中，由于|AB|=2，|AC|==4，|BC|==2，由余弦定理可得 32=4+20-2×2×2×cos∠ABC，
解得cos∠ABC=-，∴sin∠ABC=，∴△ABC的面积为 |BA|•|BC|•sin∠ABC=8．
点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，余弦定理的应用，属于基础题．