Question

已知复数z=a+bi，满足|z|=

5

，z²的实部为3，且z在复平面内对应的点位于第一象限．
（1）求z、

.

z

和z+2

.

z

；
（2）设z、

.

z

、z+2

.

z

在复平面内对应点分别为A、B、C，试判断△ABC的形状，并求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由题意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．解得a、b的值，即可求得z、

.

z

和z+2

.

z

．
（2）由（1）可得点A、B、C的坐标，可得

BA

和

BC

的坐标，求得 

BA

•

BC

＜0，可得∠ABC为钝角，故三角形ABC为钝角三角形．
△ABC中，由余弦定理求得cos∠ABC=-

5

5

，可得sin∠ABC=

4 5

5

，再由△ABC的面积为

1

2

|BA|•|BC|•sin∠ABC 运算求得结果．

解答：解：（1）由题意可得 a²-b²=3，a²+b²=5，a＞0，b＞0．
解得

a=2 b=1

，∴z=2+i，

.

z

=2-i，z+2

.

z

=（2+i）+2（2-i）=6-3i．
（2）由（1）可得点A（2，1）、点B（2，-1）、点C（6，-3），∴

BA

=（0，2）、

BC

=（4，-2），
∴

BA

•

BC

=0-4=-4＜0，∴∠ABC为钝角，故三角形ABC为钝角三角形．
△ABC中，由于|AB|=2，|AC|=

16+16

=4

2

，|BC|=

16+4

=2

5

，由余弦定理可得 32=4+20-2×2×2

5

×cos∠ABC，
解得cos∠ABC=-

5

5

，∴sin∠ABC=

4 5

5

，∴△ABC的面积为

1

2

|BA|•|BC|•sin∠ABC=8．

点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的代数表示及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，余弦定理的应用，属于基础题．