Question

5．已知数列{a_n}是等差数列，S_n是其前n项和，a₁=2，S₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式； 
（2）设b_n=a_n+4ⁿ，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将已知条件转化为首项和公差表示，解方程组可求得基本量的值，从而确定通项公式；
（2）首先化简数列{b_n}的通项公式，结合特点采用分组求和法求解．

解答 解：（1）∵a₁=2，S₃=12．
∴3×2+3d=12，解得d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）∵${b_n}={a_n}+{4^n}=2n+{4^n}$，
T_n=2（1+2+…+n）+（4+4²+…+4ⁿ）
=$2×\frac{n（1+n）}{2}$+$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$
=n²+n+$\frac{{4}^{n+1}-4}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．