Question

14．已知函数f（x）满足下列条件：①定义域为[1，+∞）；②当1＜x≤2时f（x）=4sin（$\frac{π}{2}$x）；③f（x）=2f（2x）．若关于x的方程f（x）-kx+k=0恰有3个实数解，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{14}，\frac{1}{3}）$
• B． $（\frac{1}{14}，\frac{1}{3}]$
• C． $（\frac{1}{3}，2]$
• D． $[\frac{1}{3}，2）$

Answer 1

分析 直线y=k（x-1）过定点M（1，0），画出y=f（x）在（1，+∞）上的函数图象，再结合函数的图象根据题意求出参数k的范围即可．

解答 解：画出y=f（x）在（1，+∞）上的部分图象如图，

∵关于x的方程f（x）-kx+k=0恰有3个实数解，
∴y=f（x）与直线y=kx-k有3个交点，
当y=kx-k经过点（8，$\frac{1}{2}$）时，两图象恰有3个交点，此时k=$\frac{1}{14}$，
当直线经过点（4，1）时，两图象恰有2个交点，此时k=$\frac{1}{3}$．
∴k的范围是[$\frac{1}{14}$，$\frac{1}{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查了方程的根与函数图象的关系，函数的性质应用，数形结合思想，属于中档题．