Question

12．已知函数f（x）=ln$\frac{ex}{e-x}$，若f（$\frac{e}{2016}$）+f（$\frac{2e}{2016}$）+…+f（$\frac{2015e}{2016}$）=$\frac{2015}{4}$（a+b），则a²+b²的最小值为8．

Answer 1

分析 由已知得f（x）+f（e-x）=ln$\frac{ex}{e-x}$+ln$\frac{e（e-x）}{e-（e-x）}$=lne²=2，由此利用均值定理能求出a²+b²的最小值．

解答 解：∵f（x）=ln$\frac{ex}{e-x}$，
∴f（x）+f（e-x）=ln$\frac{ex}{e-x}$+ln$\frac{e（e-x）}{e-（e-x）}$=lne²=2，
∴$\frac{2015}{4}$（a+b）=f（$\frac{e}{2016}$）+f（$\frac{2e}{2016}$）+…+f（$\frac{2015e}{2016}$）=$\frac{1}{2}×（2×2015）$=2015，
∴a+b=4，
∴${a}^{2}+{b}^{2}≥\frac{（a+b）^{2}}{2}$=8，当且仅当a=b=2时取等号，
∴a²+b²的最小值为8．
故答案为：8．

点评 本题考查代数式的和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和均值定理的合理运用．