Question

4．已知m＞0，两圆x²+y²=m与x²+（y-m）²=20相交于A，B两点，且在点A处两圆的切线互相垂直，则线段AB的长度为（　　）

• A． 3
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心，O₁A⊥AO₂，利用勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．

解答 解：由题知O₁（0，0），O₂（0，m），半径分别为$\sqrt{m}$，2$\sqrt{5}$，根据两圆相交，
可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，即2$\sqrt{5}$-$\sqrt{m}$＜m＜2$\sqrt{5}$+$\sqrt{m}$．
又O₁A⊥O₂A，所以有m²=（$\sqrt{m}$）²+（2$\sqrt{5}$）²，∴m=5．
再根据${S}_{△A{O}_{1}{O}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•AO₁•AO₂=$\frac{1}{2}$O₁O₂•$\frac{AB}{2}$，求得AB=2×$\frac{\sqrt{5}•2\sqrt{5}}{5}$=4，
故选：C．

点评 此题重点考查了学生对于圆及题意的理解，还考查了圆的切线性质及直角三角形的求解线段长度的等面积的方法，属于基础题．